Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $x$ .

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{y}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d x}{d y} = y$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$x d x = y d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int x d x = \int y d y$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int y d y$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{2} y^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$x^{2} = 2 (\frac{y^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 2 \frac{y^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = 2 \frac{y^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = y^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{y^{2} + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{y^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{y^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{y^{2} + 2 K}$

$x = - \sqrt{y^{2} + 2 K}$

$x = \sqrt{y^{2} + 2 K}$

$x = - \sqrt{y^{2} + 2 K}$

$x = \sqrt{y^{2} + 2 K}$

$x = - \sqrt{y^{2} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \sqrt{y^{2} + K}$

$x = - \sqrt{y^{2} + K}$