Математический анализ Примеры

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $x (t^{2} - 1) d t$ из обеих частей уравнения.

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $t^{3} - 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $t^{3} - 3 t$ из $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ в числитель.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Этап 3.4

Вынесем множитель $t$ из $t^{3} - 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $t$ из $- 3 t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ в числитель.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Этап 3.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Этап 3.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Этап 3.8

Объединим $\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ и $t$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Этап 3.9

Умножим $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Этап 3.9.2

Умножим $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ на $1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Этап 3.11

Чтобы записать $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Этап 3.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(t^{2} - 3) t$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $\frac{t}{t^{2} - 3}$ на $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Этап 3.12.2

Изменим порядок множителей в $(t^{2} - 3) t$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Этап 3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 3.14.2

Перепишем $t \cdot t$ в виде $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 3.14.3

Изменим порядок $- t^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 3.14.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $t^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.3.2.2

Разделим $(1 + t) (1 - t)$ на $1$ .

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.4

Развернем $(1 + t) (1 - t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.1.2

Умножим $- t$ на $1$ .

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.1.3

Умножим $t$ на $1$ .

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.1.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.5.1.5.1

Перенесем $t$ .

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.1.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.2

Добавим $- t$ и $t$ .

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.6

Изменим порядок $1$ и $- t^{2}$ .

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.7.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.7.1.2

Разделим $A (t^{2} - 3)$ на $1$ .

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.7.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.7.4

Сократим общий множитель $t^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.1.7.4.2

Разделим $(B t + C) (t)$ на $1$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Этап 4.3.1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Этап 4.3.1.1.7.6

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.7.6.1

Перенесем $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Этап 4.3.1.1.7.6.2

Умножим $t$ на $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Этап 4.3.1.1.8

Перенесем $- 3 A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Этап 4.3.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A + B$

Этап 4.3.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 4.3.1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $t$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A$

Этап 4.3.1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Этап 4.3.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Этап 4.3.1.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Этап 4.3.1.3.2.2

Разделим каждый член $- 3 A = 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Этап 4.3.1.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Этап 4.3.1.3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Этап 4.3.1.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Этап 4.3.1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 1 = A + B$ на $- \frac{1}{3}$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4

Решим относительно $B$ в $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3} + B = - 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.4.2.1

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2.5.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Этап 4.3.1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Этап 4.3.1.3.6

Перечислим все решения.

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Этап 4.3.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.5.2.1

Объединим $t$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.5.2.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.5.2.3

Добавим $- \frac{2 t}{3}$ и $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

Этап 4.3.1.5.4

Умножим $\frac{1}{t^{2} - 3}$ на $\frac{2 t}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

Этап 4.3.1.5.5

Перенесем $3$ влево от $t^{2} - 3$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Этап 4.3.1.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Этап 4.3.1.5.7

Умножим $\frac{1}{t}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Этап 4.3.1.5.8

Перенесем $3$ влево от $t$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Этап 4.3.8

Пусть $u = t^{2} - 3$ . Тогда $d u = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Пусть $u = t^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Дифференцируем $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Этап 4.3.8.1.2

По правилу суммы производная $t^{2} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 4.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 4.3.8.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 t + 0$

Этап 4.3.8.1.5

Добавим $2 t$ и $0$ .

$2 t$

Этап 4.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.9.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.11.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.11.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 4.3.13

Упростим.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 4.3.14

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} - 3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Объединим $\ln (| t |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Этап 5.1.1.2

Объединим $\ln (| t^{2} - 3 |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

Этап 5.2

Каждый член в $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ на $3$ .

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $3$ влево от $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ в числитель.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ в числитель.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Этап 5.2.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Этап 5.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Этап 5.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

Этап 5.7

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

Этап 5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Этап 5.9

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Этап 5.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

Этап 5.9.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

Этап 5.10

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

Этап 5.11

Перепишем $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

Этап 5.12

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Перепишем уравнение в виде ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ .

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

Этап 5.12.2

Разделим каждый член ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ на $| t^{3} - 3 t |$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.1

Разделим каждый член ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ на $| t^{3} - 3 t |$ .

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Этап 5.12.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.2.1

Сократим общий множитель $| t^{3} - 3 t |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Этап 5.12.2.2.1.2

Разделим ${| x |}^{3}$ на $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Этап 5.12.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.3.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3} - 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Этап 5.12.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Этап 5.12.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Этап 5.12.2.3.1.3

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.3.1.3.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.3.1.3.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Этап 5.12.2.3.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

Этап 5.12.2.3.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

Этап 5.12.2.3.1.4

Перенесем $- 3$ влево от $t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

Этап 5.12.2.3.1.5

Вынесем множитель $t$ из $t^{3} - 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.3.1.5.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Этап 5.12.2.3.1.5.2

Вынесем множитель $t$ из $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Этап 5.12.2.3.1.5.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

Этап 5.12.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Этап 5.12.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.4.2.1

Перепишем $e^{3 C}$ в виде ${(e^{C})}^{3}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Этап 5.12.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Этап 5.12.4.3

Умножим $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Этап 5.12.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.4.4.1

Умножим $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Этап 5.12.4.4.2

Возведем $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ в степень $1$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Этап 5.12.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

Этап 5.12.4.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

Этап 5.12.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ в виде $| t (t^{2} - 3) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ в виде ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.12.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.12.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.12.4.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.12.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

Этап 5.12.4.4.5.5

Упростим.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.2.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.2.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.3

Перенесем $- 3$ влево от $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.4

Уберем знак модуля в ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.5

Перепишем ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ в виде $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.6

Развернем $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.1

Умножим $t^{3}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.1.2

Добавим $3$ и $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.3

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.3.1

Перенесем $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.3.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.4

Умножим $t$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.4.1

Перенесем $t^{3}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.4.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.4.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.6

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.7.1.6.1

Перенесем $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.6.2

Умножим $t$ на $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.1.7

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.7.2

Вычтем $3 t^{4}$ из $- 3 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.8

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.8.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{6}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.8.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 6 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.8.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $9 t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.8.4

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.8.5

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.9

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.10

Пусть $u = t^{2}$ . Подставим $u$ вместо $t^{2}$ для всех.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.11

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.11.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.11.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 5.12.6.11.3

Перепишем многочлен.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.11.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 5.12.6.12

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$