Математический анализ Примеры

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $(e^{x} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e^{x}}$ в числитель.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 4.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 4.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 4.3.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Этап 4.3.4.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Этап 4.3.5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.3.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.3.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Этап 4.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$