Математический анализ Примеры

$6 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$6 y d y = 5 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 6 y d y = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ на $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.3.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

Этап 3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы записать $\frac{K}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{K}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{9}}$

Этап 3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{9}}$

Этап 3.3.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}}$

Этап 3.3.5

Перепишем $\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $5 x^{3} + 3 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Этап 3.3.5.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.3.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{5 x^{3} + 3 K}$

Этап 3.3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{5 x^{3} + 3 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$