Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 1 - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int d x + \int - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- \frac{8}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{8}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = x + C_{2} - \frac{8}{3} \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} - \frac{8}{3} (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = x - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $\frac{3}{8}$ на $\frac{8}{3}$ .

$y + C_{1} = x - \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $3$ на $8$ .

$y + C_{1} = x - \frac{24}{8 \cdot 3} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.3

Умножим $8$ на $3$ .

$y + C_{1} = x - \frac{24}{24} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.4

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = x - \frac{24}{24} x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = x - 1 \cdot 1 x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y + C_{1} = x - x^{\frac{8}{3}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x - x^{\frac{8}{3}} + K$