Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{x} + y$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} e^{x}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} e^{x}$

Этап 3.3

Умножим $e^{- x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x + x}$

Этап 3.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0}$

Этап 3.4

Упростим $e^{0}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 1$

Этап 3.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 1$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 1$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 1$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x} y = x + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- x} y = x + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = x + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$