Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{x}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x}$

Этап 1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | x^{2}) = C$

Этап 3.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| y | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | y |) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} | y |)} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (x^{2} | y |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | y |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} | y | = e^{C}$ .

$x^{2} | y | = e^{C}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $x^{2} | y | = e^{C}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $x^{2} | y | = e^{C}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 3.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{1}{x^{2}}$