Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = 37.5 - 3.5 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{37.5 - 3.5 x}$ .

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{37.5 - 3.5 x} (37.5 - 3.5 x)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $37.5 - 3.5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{37.5 - 3.5 x} (37.5 - 3.5 x)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} d x = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{37.5 - 3.5 x} d x = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 37.5 - 3.5 x$ . Тогда $d u = - 3.5 d x$ , следовательно $\frac{1}{- 3.5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 37.5 - 3.5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $37.5 - 3.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [37.5 - 3.5 x]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $37.5 - 3.5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [37.5] + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [37.5] + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $37.5$ является константой относительно $x$ , производная $37.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3.5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 3.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 3.5 x$ по $x$ равна $- 3.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3.5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3.5 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 3.5$ на $1$ .

$0 - 3.5$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $3.5$ из $0$ .

$- 3.5$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3.5} d u = \int d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3.5}) d u = \int d t$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3.5}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3.5} d u = \int d t$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $3.5$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{3.5 u} d u = \int d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{3.5 u} d u = \int d t$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{3.5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3.5}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3.5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3.5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- \frac{1}{3.5} (\ln (| u |) + C_{1})$ в виде $- 1 \cdot 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $0.\overline{285714}$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $37.5 - 3.5 x$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$ на $- 0.\overline{285714}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$ на $- 0.\overline{285714}$ .

$\frac{- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |)}{- 0.\overline{285714}} = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 0.\overline{285714}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |)}{- 0.\overline{285714}} = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 37.5 - 3.5 x |)$ на $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{t}{0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим на $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{1 t}{0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем множитель $0.\overline{285714}$ из $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{1 t}{0.\overline{285714} (1)} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.4

Разделим дроби.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (\frac{1}{0.\overline{285714}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.5

Разделим $1$ на $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (3.5 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.6

Разделим $t$ на $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (3.5 t) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.7

Умножим $3.5$ на $- 1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{C}{0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.9

Умножим на $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{1 C}{0.\overline{285714}}$

Этап 3.1.3.1.10

Вынесем множитель $0.\overline{285714}$ из $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{1 C}{0.\overline{285714} (1)}$

Этап 3.1.3.1.11

Разделим дроби.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (\frac{1}{0.\overline{285714}} \cdot \frac{C}{1})$

Этап 3.1.3.1.12

Разделим $1$ на $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (3.5 \frac{C}{1})$

Этап 3.1.3.1.13

Разделим $C$ на $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (3.5 C)$

Этап 3.1.3.1.14

Умножим $3.5$ на $- 1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - 3.5 C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 37.5 - 3.5 x |)} = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - 3.5 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 3.5 t - 3.5 C} = | 37.5 - 3.5 x |$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 37.5 - 3.5 x | = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$ .

$| 37.5 - 3.5 x | = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$37.5 - 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $37.5$ из обеих частей уравнения.

$- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$ на $- 3.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$ на $- 3.5$ .

$\frac{- 3.5 x}{- 3.5} = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 3.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3.5 x}{- 3.5} = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5}$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Умножим на $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C})}{3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Вынесем множитель $3.5$ из $3.5$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C})}{3.5 (1)} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3.1.4

Разделим дроби.

$x = \frac{1}{3.5} \cdot \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{1} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3.1.5

Разделим $1$ на $3.5$ .

$x = 0.\overline{285714} \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{1} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3.1.6

Разделим $\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}$ на $1$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}) + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Этап 3.4.4.3.1.7

Разделим $- 37.5$ на $- 3.5$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}) + 10.\overline{714285}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t + C}) + 10.\overline{714285}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 3.5 t + C}$ в виде $e^{- 3.5 t} e^{C}$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t} e^{C}) + 10.\overline{714285}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 3.5 t}$ и $e^{C}$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{C} e^{- 3.5 t}) + 10.\overline{714285}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = 0.\overline{285714} (C e^{- 3.5 t}) + 10.\overline{714285}$