Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Этап 2.3

Умножим $e^{3 x}$ на $e^{- 2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

Этап 2.3.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Этап 6.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

Этап 6.5

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.5.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.5.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

Этап 6.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

Этап 6.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

Этап 6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Этап 6.8.2

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Этап 6.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

Этап 6.10

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

Этап 6.11

Упростим.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

Этап 6.12

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ на $e^{3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ на $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.1.2

Разделим $\frac{1}{3} x$ на $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.2.2

Разделим $- \frac{1}{9}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $e^{x}$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.1.3.2.4

Разделим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2

Вычтем $\frac{1}{9}$ из $\frac{1}{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Изменим порядок $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.2

Чтобы записать $x \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.3

Объединим $x \frac{1}{3}$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.3.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.4

Чтобы записать $e^{- 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Перенесем $9$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.6.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.7

Чтобы записать $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.3.8

Чтобы записать $\frac{C}{e^{3 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 7.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 e^{3 x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.9.1

Умножим $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ на $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 7.3.9.2

Умножим $\frac{C}{e^{3 x}}$ на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Этап 7.3.9.3

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.11.2.1

Умножим $e^{- 2 x}$ на $e^{3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.11.2.1.1

Перенесем $e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.11.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.11.2.1.3

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.11.2.2

Перепишем $- 1 e^{3 x}$ в виде $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.3.11.3

Перенесем $9$ влево от $C$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$