Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = y$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y}{y x^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y}{y x^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Перепишем $- x^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{1}{x} + C}$ в виде $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{1}{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{1}{x}}$