Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 7$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (5 + \frac{1}{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = 5 x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = 5 x + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $7$ вместо $y$ в $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ .

$7 = 5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$ .

$5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$

Этап 4.2

Упростим $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \ln (| 1 |) + C = 7$

Этап 4.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$5 + \ln (1) + C = 7$

Этап 4.2.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$5 + 0 + C = 7$

Этап 4.2.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5 + C = 7$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$C = 7 - 5$

Этап 4.3.2

Вычтем $5$ из $7$ .

$C = 2$

Этап 5

Подставим $2$ вместо $C$ в $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2$ вместо $C$ .

$y = 5 x + \ln (| x |) + 2$