Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (1 - 2 x) y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} ((1 - 2 x) y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $(1 - 2 x) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 - 2 x))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 - 2 x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 - 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - x^{2} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - x^{2} + x + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - x^{2} + x + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - x^{2} y + x y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = - x^{2} y + x y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = - x^{2} y + x y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x^{2} y + x y + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} y + x y + K y = - 1$ .

$- x^{2} y + x y + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y + x y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y$ .

$y (- x^{2}) + x y + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y (- x^{2}) + y x + K y = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (- x^{2}) + y x + y K = - 1$

Этап 3.3.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- x^{2}) + y x$ .

$y (- x^{2} + x) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (- x^{2} + x) + y K$ .

$y (- x^{2} + x + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (- x^{2} + x + K) = - 1$ на $- x^{2} + x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (- x^{2} + x + K) = - 1$ на $- x^{2} + x + K$ .

$\frac{y (- x^{2} + x + K)}{- x^{2} + x + K} = \frac{- 1}{- x^{2} + x + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- x^{2} + x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x^{2} + x + K)}{- x^{2} + x + K} = \frac{- 1}{- x^{2} + x + K}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x^{2} + x + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{- x^{2} + x + K}$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y = - \frac{1}{- (x^{2}) + x + K}$

Этап 3.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$y = - \frac{1}{- (x^{2}) - 1 (- x) + K}$

Этап 3.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$y = - \frac{1}{- (x^{2} - x) + K}$

Этап 3.3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x^{2} - x) - 1 (- K)}$

Этап 3.3.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x^{2} - x - K)}$

Этап 3.3.3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.7.1

Перепишем $- (x^{2} - x - K)$ в виде $- 1 (x^{2} - x - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x^{2} - x - K)}$

Этап 3.3.3.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{1}{x^{2} - x - K}$

Этап 3.3.3.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x^{2} - x - K}$

Этап 3.3.3.3.7.4

Умножим $\frac{1}{x^{2} - x - K}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2} - x - K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1}{x^{2} - x + K}$