Математический анализ Примеры

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Этап 1.2.2

Поскольку $\tan (x)$ является константой относительно $y$ , производная $\tan (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \sin (x)$ является константой относительно $y$ , производная $- \sin (x) \sin (y)$ по $y$ равна $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (y)$ по $y$ равна $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $\sin (x) \cos (y)$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Этап 2.2

Поскольку $\cos (y)$ является константой относительно $x$ , производная $\cos (x) \cos (y)$ по $x$ равна $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \cos (y) \sin (x)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- \cos (y) \sin (x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $\cos (x)$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\cos (x)$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Этап 5.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Этап 5.3

Упростим.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $\sin (y)$ является константой относительно $x$ , производная $\cos (x) \sin (y)$ по $x$ равна $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 8.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Упростим $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Этап 9.1.1.1.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Добавим $\sin (x) \sin (y)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Этап 9.1.2.2

Объединим противоположные члены в $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Добавим $- \sin (x) \sin (y)$ и $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Этап 9.1.2.2.2

Добавим $\tan (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Этап 9.1.2.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9.1.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Этап 10

Найдем первообразную $\tan (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Этап 10.3

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$