Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Этап 3.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $\frac{x^{3}}{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Этап 3.2.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Этап 3.2.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Этап 3.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{3}$ в числитель.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Этап 3.3.3

Перенесем $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Этап 3.3.4

Перенесем $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Этап 3.3.5

Изменим порядок $3 y^{2}$ и $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 3$ и $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4.2

Умножим $- 3$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4.3

Умножим $- 15$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем множитель $3$ из $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.4

Вынесем множитель $3$ из $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 11)$ , рассмотрим $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $11$ вместо $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Этап 6.2

Умножим обе части на $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.1.3

Умножим $60$ на $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.1.4

Добавим $3 + 0 + K$ и $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.1.5

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.1.1.2.2

Изменим порядок $3$ и $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $11$ на $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Этап 6.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены без $\sqrt{3 (K + 3)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $3$ из $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Этап 6.4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Этап 6.4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (K + 3)}$ в виде ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Упростим ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Этап 6.4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Этап 6.4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Этап 6.4.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Этап 6.4.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Этап 6.4.3.2.1.3.2

Упростим.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Этап 6.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Возведем $63$ в степень $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Этап 6.4.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$3 K = 3969 - 9$

Этап 6.4.4.1.2

Вычтем $9$ из $3969$ .

$3 K = 3960$

Этап 6.4.4.2

Разделим каждый член $3 K = 3960$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.1

Разделим каждый член $3 K = 3960$ на $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Этап 6.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Этап 6.4.4.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Этап 6.4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.3.1

Разделим $3960$ на $3$ .

$K = 1320$

Этап 7

Подставим $1320$ вместо $K$ в $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1320$ вместо $K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $3$ и $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Этап 7.2.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$