Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = - x y$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x^{2}} y$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\ln (| 1 + x^{2} |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(y^{2} | 1 + x^{2} |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к $y^{2} | 1 + x^{2} |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (y^{1} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.6

Упростим.

$\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Разделим каждый член $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ на ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Разделим каждый член $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ на ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$