Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} (e^{x + 2} {(2 - y)}^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(2 - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель ${(2 - y)}^{2}$ из $e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = e^{x + 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ в виде $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.6.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{x + 2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 - y, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$2 - y, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 - y$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ умножим на $2 - y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ на $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = e^{x + 2} \cdot 2 + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $e^{x + 2}$ .

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K (2 - y)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Этап 3.2.3.1.5

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Этап 3.2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$ .

$2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 e^{x + 2}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1 - 2 e^{x + 2}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 K$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{x + 2} - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{x + 2} - K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{x + 2}$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- K y$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K)$ .

$y (- 1 e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Этап 3.3.4

Перепишем $- 1 e^{x + 2}$ в виде $- e^{x + 2}$ .

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Этап 3.3.5

Разделим каждый член $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ на $- e^{x + 2} - K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Разделим каждый член $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ на $- e^{x + 2} - K$ .

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Этап 3.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{x + 2} - K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Этап 3.3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Этап 3.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Этап 3.3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Этап 3.3.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} + K} - \frac{K}{- e^{x + 2} + K}$