Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Этап 1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d t}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{t + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{t}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t^{2}$ и $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Этап 7.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Этап 7.5

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Этап 7.6

Перепишем $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ в виде $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ на $e^{t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ на $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- 2 t$ на $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8.3.1.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$