Математический анализ Примеры

$\frac{3 d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$3 \frac{d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

Этап 1.2

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $18 x$ к обеим частям уравнения.

$3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ на $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (1)} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 \cdot 1} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1} + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.1.2.4

Разделим $- 2 x y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{18 x}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Сократим общий множитель $18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 (1)}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{6 x}{1}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2.4

Разделим $6 x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 6 x$

Этап 1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 6 x$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 2 x (3)$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 1 y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 3)$

Этап 1.3.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- y + 3)$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 3} (2 x (- y + 3))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{- y + 3} (x (- y + 3))$

Этап 1.5.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} (x (- y + 3))$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $- y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $- y + 3$ из $x (- y + 3)$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- y + 3} d y = 2 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- y + 3} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - y + 3$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - y + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- y + 3$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 3 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - y + 3 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| - y + 3 |)$ на $1$ .

$\ln (| - y + 3 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - y + 3 |)} = e^{- x^{2} - C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - C} = | - y + 3 |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$ .

$| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- y + 3 = \pm e^{- x^{2} - C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C})$ в виде $- (\pm e^{- x^{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + 3$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + C}) + 3$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- x^{2} + C}$ в виде $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 3$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 3$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - (C e^{- x^{2}}) + 3$