Математический анализ Примеры

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $37 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{37 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{37}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{37}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37}{x} y = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{37}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{37}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{37}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $37$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $37$ из-под знака интеграла.

$e^{37 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{37 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{37 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{37 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{37})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{37}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{37}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} (\frac{37}{x} y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{37}{x}$ и $y$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{36} (37 y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{36} \cdot 7 + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $7$ влево от $x^{36}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 \cdot x^{36} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{35} \cdot - 47$

Этап 3.3.4

Перенесем $- 47$ влево от $x^{35}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{37} y] = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{37} y] d x = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Этап 7.2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$x^{37} y = 7 \int x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x^{36}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{37} x^{37}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) + \int - 47 x^{35} d x$

Этап 7.4

Поскольку $- 47$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 47$ из-под знака интеграла.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 \int x^{35} d x$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $x^{35}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{36} x^{36}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 (\frac{1}{36} x^{36} + C)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Упростим.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37}) x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Объединим $7$ и $\frac{1}{37}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Этап 7.6.2.2

Объединим $- 47$ и $\frac{1}{36}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} + \frac{- 47}{36} x^{36} + C$

Этап 7.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ на $x^{37}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ на $x^{37}$ .

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{37}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{37}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $\frac{7}{37}$ на $1$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{36}$ и $x^{37}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{36}$ из $- \frac{47}{36} x^{36}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{36}$ из $x^{37}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36}}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{47}{36}$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{x \cdot 36} + \frac{C}{x^{37}}$

Этап 8.3.1.5

Перенесем $36$ влево от $x$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36 x} + \frac{C}{x^{37}}$