Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x e^{- x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x e^{- x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x e^{- x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x e^{- x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Перепишем $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$ в виде $- x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{- x} + C_{2}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - e^{- x} x - e^{- x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - e^{- x} x - e^{- x} + K$