Математический анализ Примеры

$2 x d y + 3 y d x = 0$

Этап 1

Вычтем $3 y d x$ из обеих частей уравнения.

$2 x d y = - 3 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Этап 3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ на ${| x |}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ на ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Этап 5.5.4.1.2

Вынесем полную степень ${| x |}^{2}$ из ${| x |}^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

Этап 5.5.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

Этап 5.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Этап 5.5.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ в виде $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.4

Объединим.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.5

Умножим $\sqrt{e^{C}}$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.6

Умножим $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ на $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ на $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.7.2

Перенесем $\sqrt{| x |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

Этап 5.5.4.7.3

Возведем $\sqrt{| x |}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

Этап 5.5.4.7.4

Возведем $\sqrt{| x |}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

Этап 5.5.4.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

Этап 5.5.4.7.7

Перепишем ${\sqrt{| x |}}^{2}$ в виде $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{| x |}$ в виде ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.7.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.7.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.7.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.7.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

Этап 5.5.4.7.7.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

Этап 5.5.4.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

Этап 5.5.4.9

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

Этап 5.5.4.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.10.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

Этап 5.5.4.10.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$