Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + {(\frac{y}{x})}^{2}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 1 + V^{2}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 1 + V^{2}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + 1 + V^{2} - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + 1 + V^{2} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $1 + V^{2}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $1 + V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ по $V$ имеет вид $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $V$ из арктангенса.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$