Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{3 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x^{2}}{3 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x^{2}}{y \cdot 3}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x^{2}}{y \cdot 3}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{5 x^{2}}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{5 x^{2}}{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{5 x^{2}}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{5}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{5}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{9} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{5}{9} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{5}{9}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{5 x^{3}}{9} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2 \frac{5 x^{3}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{5 x^{3}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{2 (5 x^{3})}{9} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{10 x^{3}}{9} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{10 x^{3}}{9} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{10 x^{3}}{9} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{10 x^{3}}{9} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{10 x^{3}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{5 x^{3}}{9} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{5 x^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3} + K \cdot 9}{9}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $9$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3} + 9 K}{9}}$

Этап 3.4.5

Объединим $2$ и $\frac{5 x^{3} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (5 x^{3} + 9 K)}{9}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\frac{2 (5 x^{3} + 9 K)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $2 (5 x^{3} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}{9}}$

Этап 3.4.6.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}$

Этап 3.4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}$

Этап 3.4.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + K)}}{3}$