Математический анализ Примеры

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$ , $I (0) = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 5 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{5 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{5 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{5 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

Этап 2.3

Перенесем $10$ влево от $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

Этап 6.2

Пусть $u = 5 t$ . Тогда $d u = 5 d t$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = 5 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Этап 6.2.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 6.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

Этап 6.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

Этап 6.7

Упростим.

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

Этап 6.8

Заменим все вхождения $u$ на $5 t$ .

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ на $e^{5 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ на $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $I$ на $1$ .

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{5 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $0$ вместо $I$ в $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ .

$0 = 2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$ .

$2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Этап 9.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 0$

Этап 9.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$2 + C = 0$

Этап 9.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$C = - 2$

Этап 10

Подставим $- 2$ вместо $C$ в $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $- 2$ вместо $C$ .

$I = 2 + \frac{- 2}{e^{5 t}}$

Этап 10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$I = 2 - \frac{2}{e^{5 t}}$