Математический анализ Примеры

$(x^{2} y^{3} + y + x - 2) d x + (x^{3} y^{2} + x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} y^{3} + y + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + y + x - 2]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{2} y^{3} + y + x - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2} y^{3}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 1.3.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 1.4.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 1.4.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + 0$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $3 x^{2} y^{2} + 1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $3 x^{2} y^{2} + 1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2} + x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{3} y^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{3} y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + 1$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x^{2} y^{2} + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 x^{2} y^{2} + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} + x d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} d y + \int x d y$

Этап 5.2

Поскольку $x^{3}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{3}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{3} \int y^{2} d y + \int x d y$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x d y$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x y + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{y^{3}}{3} + C) + x y + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + C$

Этап 5.7

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{x^{3}}{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{y^{3}}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3} y^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.5

Объединим $3$ и $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.6

Объединим $\frac{3 y^{3}}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.3.7.2

Разделим $y^{3} x^{2}$ на $1$ .

$y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{3} x^{2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{3} x^{2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.4.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 8.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x^{2} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $y^{3} x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2}$

Этап 9.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x^{2} y^{3}$ и $- y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x^{2} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $y^{3} x^{2}$ из $y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 + 0 - y$

Этап 9.1.3.3

Добавим $y + x - 2$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 - y$

Этап 9.1.3.4

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 + 0$

Этап 9.1.3.5

Добавим $x - 2$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2$

Этап 10

Найдем первообразную $x - 2$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x - 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x - 2 d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x - 2 d x$

Этап 10.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

Этап 10.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C$

Этап 10.6

Упростим.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{x^{3}}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C$