Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 y^{2} x$ , $y (1) = \frac{1}{25}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (6 y^{2} x)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 1.2.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} (x))$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 6 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 6 x d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 6 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = 3 x^{2} y + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 x^{2} y + K y = - 1$ .

$3 x^{2} y + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $3 x^{2} y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (3 x^{2}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (3 x^{2}) + y K$ .

$y (3 x^{2} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (3 x^{2} + K) = - 1$ на $3 x^{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (3 x^{2} + K) = - 1$ на $3 x^{2} + K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3 x^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $\frac{1}{25}$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ .

$\frac{1}{25} = - \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K}$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{3 \cdot 1 + K} = \frac{1}{25}$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 + K, 25$

Этап 5.3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.3.4

У $25$ есть множители: $5$ и $5$ .

$5 \cdot 5$

Этап 5.3.5

Умножим $5$ на $5$ .

$25$

Этап 5.3.6

Множителем $3 + K$ является само значение $3 + K$ .

$(3 + K) = 3 + K$

$(3 + K)$ встречается $1$ раз.

Этап 5.3.7

НОК $3 + K$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 + K$

Этап 5.3.8

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$25 (3 + K)$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ умножим на $25 (3 + K)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ на $25 (3 + K)$ .

$- \frac{1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 + K}$ в числитель.

$\frac{- 1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.2.1.2

Вынесем множитель $3 + K$ из $25 (3 + K)$ .

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.2.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$- 25 = 3 + K$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $3 + K = - 25$ .

$3 + K = - 25$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$K = - 25 - 3$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $3$ из $- 25$ .

$K = - 28$

Этап 6

Подставим $- 28$ вместо $K$ в $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $- 28$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{2} - 28}$