Математический анализ Примеры

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Этап 2.4

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

Этап 2.6

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{3}}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

Этап 2.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

Этап 2.8.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

Этап 2.8.3

Объединим $\frac{- 3}{x}$ и $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

Этап 2.8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- \frac{3 y^{2}}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{3 y^{2}}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

Этап 5.3

Подставим $y^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

Этап 5.3.2

Добавим $- \frac{3 y^{2}}{x}$ и $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 y^{2}}{x}$ в числитель.

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 5.3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{x}$

Этап 5.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.2

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.4

Перепишем $- x^{3}$ в виде ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.5

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = - x$ и $b = y$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.6.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.6.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.4.4.6.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.6

Объединим.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.7

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.8

Умножим $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ на $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.12

Перепишем $- (x + y)$ в виде $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Этап 7.14

Умножим $y^{2}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7.15

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $\frac{1}{x^{3}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{3}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

Этап 9.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

Этап 9.3.2.3

Умножим $3$ на $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Этап 9.3.2.4

Объединим $\frac{1}{3 x^{3}}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $\frac{y^{3}}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ по $x$ равна $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.8

Объединим $- 3$ и $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.9

Объединим $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ и $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.10

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.11

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Развернем $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.6

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.6.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.2.6.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3

Объединим противоположные члены в $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.3.1

Изменим порядок множителей в членах $- x^{2} y$ и $y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.2

Добавим $- x^{2} y$ и $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.3

Добавим $x^{3} + x y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.4

Изменим порядок множителей в членах $x y^{2}$ и $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.5

Вычтем $y^{2} x$ из $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3.6

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Добавим $- y^{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.4.2

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Этап 13.1.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Этап 13.1.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 14

Найдем первообразную $- \frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 14.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Этап 14.5

Упростим.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$