Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 6 x + 2$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (6 x) + x \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (6 x) + x \cdot 2$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (6 x) + x \cdot 2$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (6 x) + x \cdot 2$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x \cdot x + x \cdot 2$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 (x \cdot x) + x \cdot 2$

Этап 2.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + x \cdot 2$

Этап 2.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 x$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 x$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 x d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 6.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x$

Этап 6.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 6.6.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$x y = 2 x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 6.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x y = 2 x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 6.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x y = 2 x^{3} + 1 x^{2} + C$

Этап 6.6.2.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2.5

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y = 2 x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$y = 2 x^{2} + x + \frac{C}{x}$