Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d q} = \frac{2000}{\sqrt{300 q}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d r = \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d r = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2000$ — константа по отношению к $q$ , вынесем $2000$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{300 q}} d q$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 300 q$ . Тогда $d u = 300 d q$ , следовательно $\frac{1}{300} d u = d q$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 300 q$ . Найдем $\frac{d u}{d q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $300 q$ .

$\frac{d}{d q} [300 q]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $300$ является константой относительно $q$ , производная $300 q$ по $q$ равна $300 \frac{d}{d q} [q]$ .

$300 \frac{d}{d q} [q]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $300$ на $1$ .

$300$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{300} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{300}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 300} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $300$ влево от $\sqrt{u}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{300 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{300}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{300}$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = 2000 (\frac{1}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{300}$ и $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{2000}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $2000$ и $300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Вынесем множитель $100$ из $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{100 (20)}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $100$ из $300$ .

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $\frac{20}{3}$ и $2$ .

$r + C_{1} = \frac{20 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $20$ на $2$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $300 q$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$r = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + K$