Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2}$ , $y (0) = 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $4$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 4$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 + K = 4$

Этап 4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0 + K = 4$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 4$

Этап 5

Подставим $4$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{3} x^{3} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $4$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + 4$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + 4$