Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ , $y (16) = 6$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 3, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 3, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 3, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ на $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$ .

$- 3 = 2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$ .

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y x^{\frac{3}{2}}$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + 3 K y = - 3$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $3 K y$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K) = - 3$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K)$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ на $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ на $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ .

$\frac{y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K)}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K} = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $16$ вместо $x$ и $6$ вместо $y$ в $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ .

$6 = - \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{3} + K} = 6$

Этап 6.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 64 + K} = 6$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $64$ .

$- \frac{3}{128 + K} = 6$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$128 + K, 1$

Этап 6.3.2

Избавимся от скобок.

$128 + K, 1$

Этап 6.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$128 + K$

Этап 6.4

Каждый член в $- \frac{3}{128 + K} = 6$ умножим на $128 + K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $- \frac{3}{128 + K} = 6$ на $128 + K$ .

$- \frac{3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $128 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{128 + K}$ в числитель.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 3 = 6 (128 + K)$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 = 6 \cdot 128 + 6 K$

Этап 6.4.3.2

Умножим $6$ на $128$ .

$- 3 = 768 + 6 K$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $768 + 6 K = - 3$ .

$768 + 6 K = - 3$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $768$ из обеих частей уравнения.

$6 K = - 3 - 768$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $768$ из $- 3$ .

$6 K = - 771$

Этап 6.5.3

Разделим каждый член $6 K = - 771$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим каждый член $6 K = - 771$ на $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Этап 6.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Этап 6.5.3.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{- 771}{6}$

Этап 6.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 771$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 771$ .

$K = \frac{3 (- 257)}{6}$

Этап 6.5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Этап 6.5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Этап 6.5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$K = \frac{- 257}{2}$

Этап 6.5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{257}{2}$

Этап 7

Подставим $- \frac{257}{2}$ вместо $K$ в $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- \frac{257}{2}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{257}{2}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Чтобы записать $2 x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{257}{2}}$

Этап 7.2.2

Объединим $2 x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{257}{2}}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 257}{2}}$

Этап 7.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{3}{\frac{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}{2}}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - (3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257})$

Этап 7.4

Умножим $3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$

Этап 7.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = - \frac{6}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$