Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d t} + 6 u t^{2} = t^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6 u t^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d u}{d t} = t^{2} - 6 u t^{2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} - 6 u t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} \cdot 1 - 6 u t^{2}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 6 u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} \cdot 1 + t^{2} (- 6 u)$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (- 6 u)$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} (1 - 6 u)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - 6 u}$ .

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} (t^{2} (1 - 6 u))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 - 6 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $1 - 6 u$ из $t^{2} (1 - 6 u)$ .

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} ((1 - 6 u) t^{2})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} ((1 - 6 u) t^{2})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = t^{2}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - 6 u} d u = t^{2} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - 6 u} d u = \int t^{2} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 - 6 u$ . Тогда $d u_{1} = - 6 d u$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u_{1} = d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 - 6 u$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 - 6 u$ .

$\frac{d}{d u} [1 - 6 u]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 6 u$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 6 u]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 6 u]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- 6 u]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [- 6 u]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $u$ , производная $- 6 u$ по $u$ равна $- 6 \frac{d}{d u} [u]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d u} [u]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $6$ влево от $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - 6 u$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) + C_{1} = \int t^{2} d t$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) = \frac{1}{3} t^{3} + C$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |)) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 1 - 6 u |)$ и $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 u |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - 6 u |)}{6}$ в числитель.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 1 - 6 u |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{t^{3}}{3} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = 3 (- 2) \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 - 6 u |) = 3 \cdot - 2 \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 2 t^{3} - 6 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $u$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - 6 u |)} = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 1 - 6 u |) = - 2 t^{3} - 6 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t^{3} - 6 C} = | 1 - 6 u |$

Этап 3.5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - 6 u | = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$ .

$| 1 - 6 u | = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 u}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 u}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6}$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Этап 3.5.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Этап 3.5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} + 1}{6}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} + C} + 1}{6}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 2 t^{3} + C}$ в виде $e^{- 2 t^{3}} e^{C}$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3}} e^{C} + 1}{6}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 2 t^{3}}$ и $e^{C}$ .

$u = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 t^{3}} + 1}{6}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$u = \frac{C e^{- 2 t^{3}} + 1}{6}$