Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ и $y (1) = - 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = 2 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Этап 4

Так как $y$ принимает отрицательные значения при начальном условии $(1, - 3)$ , рассмотрим $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $1$ вместо $x$ , а $- 3$ вместо $y$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ .

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

Этап 5.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ в виде ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.2

Применим правило умножения к $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.4

Умножим ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.5

Перемножим экспоненты в ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.2.1.4

Упростим.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$2 + 2 K = 9$

Этап 5.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 K = 9 - 2$

Этап 5.4.1.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$2 K = 7$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $2 K = 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $2 K = 7$ на $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Этап 6

Подставим $\frac{7}{2}$ вместо $K$ в $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $\frac{7}{2}$ вместо $K$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

Этап 6.2

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

Этап 6.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

Этап 6.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

Этап 6.6

Объединим $2$ и $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Этап 6.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Сократим выражение $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Сократим общий множитель.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Этап 6.7.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

Этап 6.7.2

Разделим $2 x^{2} + 7$ на $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$