Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (x^{3} + 2) y^{3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{3} + 2) y^{3})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $(x^{3} + 2) y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{3} + 2$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = (x^{3} + 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int 2 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 4, 1, 1$

Этап 3.2.2

Так как $2 y^{2}, 4, 1, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 4, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{2}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $2, 4, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 3.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 3.2.9

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 3.2.10

НОК $y^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 3.2.11

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 3.2.12

НОК $2 y^{2}, 4, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ умножим на $4 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ на $4 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2)) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} \cdot 2) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 \cdot 4 x y^{2} + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + K (4 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$ .

$x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{4} y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $8 x y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + 4 K y^{2} = - 2$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $4 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x)$ .

$y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K)$ .

$y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ на $x^{4} + 8 x + 4 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ на $x^{4} + 8 x + 4 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{4} + 8 x + 4 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + K}}$