Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ на $6 x - 2 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ на $6 x - 2 x y$ .

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $6 x - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d x}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

Этап 1.1.3.1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

Этап 1.1.3.1.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $2 x$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{2 x}$ на $\frac{1}{3 - y}$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 3 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 3 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $3 - y$ .

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Этап 3.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Этап 3.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Этап 3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$