Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на ${(2 y + 1)}^{2}$ .

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

Этап 2.2.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Этап 2.2.5.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 y + 1$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $6 (4 x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $4$ на $6$ .

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем.

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Этап 3.4.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $6$ из $24 x + 6 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $6$ из $24 x$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $6$ из $6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (4 x) + 6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

Этап 3.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$