Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 7 x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x y$ из $4 x^{2} y - 7 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x y$ из $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) - 7 x y$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x y$ из $- 7 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) + x y (- 7)$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x y$ из $x y (4 x) + x y (- 7)$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x - 7)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (4 x - 7))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y (4 x - 7)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 7)))$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 7)))$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x - 7)$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x) + x \cdot - 7$

Этап 1.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x + x \cdot - 7$

Этап 1.3.4

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x - 7 \cdot x$

Этап 1.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x) - 7 \cdot x$

Этап 1.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 7 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 7 x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 7 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 7 x d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 7 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 7 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 7 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 7 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 7$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 7 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 7}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.3.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{7}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 7}{2} + C}$

Этап 3.3.2.3

Перенесем $7$ влево от $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + C}$ в виде $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2}}$