Математический анализ Примеры

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\arctan (x) + x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $\arctan (x)$ является константой относительно $y$ , производная $\arctan (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Этап 2.3.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Этап 2.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Этап 2.3.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$x = x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Этап 5.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Этап 5.4

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Этап 5.5

Упростим.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.2.2

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{y}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} y}{2}$ по $x$ равна $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.5

Объединим $2$ и $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.6

Объединим $\frac{2 y}{2}$ и $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.3.7.2

Разделим $y x$ на $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $\arctan (x) + x y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x y$ из $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $\arctan (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Этап 10

Найдем первообразную $\arctan (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Этап 10.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (x)$ и $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 10.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 10.5

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 10.5.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 10.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 10.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 10.5.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 10.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 10.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 10.6.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Этап 10.6.3

Умножим $2$ на $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 10.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 10.8

Избавимся от скобок.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 10.10

Упростим.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 10.11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 12.1.3

Умножим $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Изменим порядок $\ln (| x^{2} + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Этап 12.1.3.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 12.2

Чтобы записать $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 12.3

Объединим $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Этап 12.5.1.2

Упростим $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Этап 12.5.2

Перемножим экспоненты в ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 12.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 12.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Этап 12.5.3

Упростим.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 12.6

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$