Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Этап 2.5

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

Этап 2.5.5

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

Этап 2.6

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 2 - 4 x^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.6

Вычтем $8$ из $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Этап 3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Вычтем $8$ из $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Этап 3.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Вычтем $8$ из $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ и $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Этап 6.2

Объединим $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ и $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$