Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \cos^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 2.3.5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 2.3.6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 2.3.8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Этап 2.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + K$