Математический анализ Примеры

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos (x)) = 1$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 1$

Этап 2

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $\sin (x) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Этап 2.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 1$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (x) y = \int d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\sin (x) y = x + C$

Этап 7

Разделим каждый член $\sin (x) y = x + C$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $\sin (x) y = x + C$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Разделим дроби.

$y = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 7.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = \frac{x}{1} \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 7.3.1.3

Разделим $x$ на $1$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 7.3.1.4

Разделим дроби.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7.3.1.5

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Этап 7.3.1.6

Разделим $C$ на $1$ .

$y = x \csc (x) + C \csc (x)$