Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{y}{1 + y^{2}}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.5

Разделим $y$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\sin (0) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3.1.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Этап 4.3.1.1.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Этап 4.3.1.2

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Этап 5

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $C$ в $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$