Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на

\frac{1 + y^{2}}{y}

$\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим

\frac{y}{1 + y^{2}}

$\frac{y}{1 + y^{2}}$ и

\cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель

1 + y^{2}

$1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель

y

$y$ из

y \cos (x)

$y \cos (x)$ .

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель

y^{2}

$y^{2}$ и

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель

y

$y$ из

y^{2}

$y^{2}$ .

\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возведем

y

$y$ в степень

1

$1$ .

\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.2

Вынесем множитель

y

$y$ из

y^{1}

$y^{1}$ .

\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.5

Разделим

y

$y$ на

1

$1$ .

\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Интеграл

\frac{1}{y}

$\frac{1}{y}$ по

y

$y$ имеет вид

\ln (| y |)

$\ln (| y |)$ .

\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл

y

$y$ по

y

$y$ имеет вид

\frac{1}{2} y^{2}

$\frac{1}{2} y^{2}$ .

\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл

\cos (x)

$\cos (x)$ по

x

$x$ имеет вид

\sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как

C

$C$ .

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение

C

$C$ , подставив

0

$0$ вместо

x

$x$ и

1

$1$ вместо

y

$y$ в

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Этап 4

Решим относительно

C

$C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде

\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим

\sin (0) + C

$\sin (0) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение

\sin (0)

$\sin (0)$ :

0

$0$ .

0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.1.2

Добавим

0

$0$ и

C

$C$ .

C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Единица в любой степени равна единице.

C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

1

$1$ .

C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3.1.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

C = \frac{1}{2} + \ln (1)

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Этап 4.3.1.1.4

Натуральный логарифм

1

$1$ равен

0

$0$ .

C = \frac{1}{2} + 0

$C = \frac{1}{2} + 0$

C = \frac{1}{2} + 0

$C = \frac{1}{2} + 0$

Этап 4.3.1.2

Добавим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

0

$0$ .

C = \frac{1}{2}

$C = \frac{1}{2}$

C = \frac{1}{2}

$C = \frac{1}{2}$

C = \frac{1}{2}

$C = \frac{1}{2}$

C = \frac{1}{2}

$C = \frac{1}{2}$

Этап 5

Подставим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ вместо

C

$C$ в

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ вместо

C

$C$ .

\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

y^{2}

$y^{2}$ .

\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$