Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d x$

Этап 2.3.1.2

Вынесем $x^{\frac{1}{5}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.3.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{5}} d x$

Этап 2.3.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{5}} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + K$