Математический анализ Примеры

$\frac{x (d y)}{d x} = 2 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$x \frac{d y}{d x} = 2 y$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 y}{x}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 y}{x}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{x}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{x}$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Этап 3.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} x^{2}$

Этап 3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{C}$

Этап 3.5.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm x^{2} C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C x^{2}$