Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x^{2}} = x \cos (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{2 y}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x^{2}}) = x \cos (x)$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $- \frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x \cos (x)$

Этап 1.3

Умножим каждый член $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x \cos (x)$ на $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x \cos (x) x$

Этап 1.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x \cos (x) x$

Этап 1.5

Объединим $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ и $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x \cos (x) x$

Этап 1.6

Объединим $y$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x \cos (x) x$

Этап 1.7

Объединим $x$ и $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x \cos (x) x$

Этап 1.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x \cos (x)$

Этап 1.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{1} \cos (x)$

Этап 1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 1} \cos (x)$

Этап 1.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.12

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.12.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.13

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $x$ из $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.14

Изменим порядок $y$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.15

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{2} \cos (x)$

Этап 1.16

Изменим порядок $y$ и $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{2} \cos (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{2 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (x)))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \sin (x) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \sin (x) + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\sin (x) + C) x^{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\sin (x) + C) x^{2}$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\sin (x) + C) x^{2}$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(\sin (x) + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sin (x) x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в $\sin (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \sin (x) + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2.2

Изменим порядок $x^{2} \sin (x)$ и $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \sin (x)$