Математический анализ Примеры

$(x - y^{2} x) d x + (y - x^{2} y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x - y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2} x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - y^{2} x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2} x$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Этап 1.4

Вычтем $2 x y$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{2} y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y - x^{2} y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Этап 2.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 y x$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $2 y x$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 x y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 2 x y = - 2 x y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y^{2} x d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = x - y^{2} x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x d x + \int - y^{2} x d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y^{2} x d x$

Этап 5.3

Поскольку $- y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} \int x d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.5

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Этап 5.6.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Этап 5.7.2

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Этап 5.7.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y - x^{2} y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.2.2

Поскольку $\frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.3

Поскольку $- \frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ по $y$ равна $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.7

Объединим $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ и $y$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.8

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.3.8.2.4

Разделим $- x^{2} y$ на $1$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вычтем $x^{2} y$ из $0$ .

$- x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = y - x^{2} y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $x^{2} y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y - x^{2} y + x^{2} y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $y - x^{2} y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Добавим $- x^{2} y$ и $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Этап 10

Найдем первообразную $y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Этап 10.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$