Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Этап 1.3.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Этап 1.3.2.2

Добавим круглые скобки.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Этап 1.3.2.3

Выразим $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Этап 1.3.2.4

Сократим общие множители.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ на $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Этап 2.2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Этап 2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Этап 2.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Этап 2.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Этап 2.3.3.2.5

Разделим $2 y$ на $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| y |)$ в виде $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.6

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Этап 3.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$