Математический анализ Примеры

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ на $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Этап 2.2.4.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Этап 2.2.4.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Этап 2.2.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sec^{- 2} (x)$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Этап 2.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Этап 2.8

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Этап 2.9

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Этап 2.10

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Этап 2.11

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим дроби.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.5.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.7.2

Сократим общий множитель.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.7.3

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.8

Объединим $\frac{- 2}{1}$ и $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.9

Объединим $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ и $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.2.10

Разделим $- 2 \cos (x) \sin (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Этап 3.3

Разделим дроби.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Этап 3.4

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Этап 3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Этап 3.6

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 3.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.9.3

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Этап 3.10

Объединим $\frac{5}{1}$ и $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Этап 3.11

Объединим $\frac{5 \cos (x)}{1}$ и $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Этап 3.12

Разделим $5 \cos (x) \sin (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Этап 3.13

Изменим порядок множителей в $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 7.2

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 7.2.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Этап 7.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ на $\cos^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ на $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $- \frac{5}{2}$ на $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.3.1.2

Умножим на $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Этап 8.3.1.3

Разделим дроби.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.3.1.4

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Этап 8.3.1.5

Разделим $C$ на $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$