Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{1 - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int d x$

Этап 2.2.4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ в виде $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} + \frac{K}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} - \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - y)}^{1} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$1 - y = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ .

$1 - y = (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Умножим $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - y = 1 \frac{x}{2} \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.2

Умножим $\frac{x}{2}$ на $1$ .

$1 - y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Умножим $- \frac{x}{2} (- \frac{K}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 1 \frac{x}{2} \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2

Умножим $\frac{x}{2}$ на $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Умножим $- \frac{K}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.3.2

Умножим $\frac{K}{2}$ на $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.3.3

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Умножим $- \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2

Умножим $\frac{K}{2}$ на $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.3

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.4

Возведем $K$ в степень $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.5

Возведем $K$ в степень $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.8

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $\frac{x K}{4}$ и $\frac{K x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $K$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{K x}{4}$ и $\frac{K x}{4}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ в виде $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{K x}{2}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \frac{K x}{2}$ в виде $- \frac{K x}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.5

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - 1 \cdot \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.6

Перепишем $- 1 \cdot \frac{K^{2}}{4}$ в виде $- \frac{K^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.7

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + 1$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + K$