Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Этап 1.2

Разделим каждый член $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\arctan (x)}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\arctan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2} + 1}$ и $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2.2

Объединим $e^{\arctan (x)}$ и $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $e^{\arctan (x)}$ из $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $e^{\arctan (x)}$ из $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $e^{\arctan (x)}$ из $e^{\arctan (x)} y$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $e^{\arctan (x)}$ из $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.6

Объединим $e^{\arctan (x)}$ и $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 3.7

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \arctan (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , следовательно $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = \arctan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 7.1.1.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 7.1.1.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Этап 7.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Этап 7.4

Упростим.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Этап 7.5

Заменим все вхождения $u$ на $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ на $e^{\arctan (x)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ на $e^{\arctan (x)}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{\arctan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{\arctan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $\arctan (x)$ на $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{\arctan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$